średni systemy liczbowekonwersjamatura rozszerzona z informatyki

Systemy o dowolnej podstawie (3, 4, 8, 9)

Jedna reguła dla wszystkich systemów pozycyjnych – dzielenie przez podstawę w jedną stronę i sumowanie potęg w drugą.

Opis

Systemy dwójkowy, ósemkowy czy szesnastkowy to tylko szczególne przypadki jednej zasady. W systemie pozycyjnym o podstawie p dostępnych jest p cyfr, od 0 do p minus 1, a kolejne pozycje od prawej mają wagi 1, p, p do kwadratu, p do sześcianu i tak dalej.

Dlatego nie trzeba uczyć się osobnej metody dla każdego systemu. Z dziesiętnego na dowolny: dzielimy przez podstawę i zbieramy reszty, czytane od końca. Z dowolnego na dziesiętny: mnożymy cyfry przez wagi pozycji i sumujemy.

Jedyne, o czym trzeba pamiętać, to zakres cyfr. W systemie o podstawie 5 nie istnieje cyfra 7, a w systemie o podstawie 3 największą cyfrą jest 2. Zapis 1213 nie jest poprawną liczbą trójkową.

Jak to działa

Zamieniamy 100 na system o podstawie 7:

100 dzielone przez 7 daje 14, reszta 2
14 dzielone przez 7 daje 2, reszta 0
2 dzielone przez 7 daje 0, reszta 2

Czytając od końca: 202. Sprawdzenie: 2 razy 49, plus 0 razy 7, plus 2 razy 1, czyli 98 + 0 + 2 = 100.

W drugą stronę liczba 1102 w systemie o podstawie 3 to 1 razy 27, plus 1 razy 9, plus 0 razy 3, plus 2 razy 1, czyli 27 + 9 + 0 + 2 = 38.

Pseudokod

funkcja na_podstawe(n, p):
  jeżeli n = 0:
    zwróć "0"
  cyfry ← []
  dopóki n > 0:
    cyfry ← [n mod p] + cyfry
    n ← n div p
  zwróć cyfry

Na maturze

Zadania z nietypową podstawą sprawdzają, czy rozumiesz zasadę, a nie czy pamiętasz procedurę dla dwójki. Bywa też pytanie odwrotne: podana liczba w dwóch systemach, trzeba wyznaczyć podstawę.

Uwaga na zapis: podstawę zaznacza się zwykle indeksem dolnym. Bez niej 101 może znaczyć sto jeden, pięć albo sześćdziesiąt pięć.

Zapamiętaj

System o podstawie p ma cyfry od 0 do p minus 1 – ani jednej więcej.
Z dziesiętnego: dzielimy przez p, reszty czytamy od końca.
Na dziesiętny: mnożymy cyfry przez kolejne potęgi p i sumujemy.
Konwersja między systemami o niepowiązanych podstawach idzie przez dziesiętny.

Najczęściej zadawane pytania

Jak zamienić z ósemkowego na szesnastkowy?

Najprościej przez binarny: każdą cyfrę ósemkową rozpisz na trzy bity, a potem pogrupuj bity po cztery. Obie podstawy są potęgami dwójki, więc pośrednik binarny działa bez liczenia.

Czy istnieje system o podstawie 1?

Nie w sensie pozycyjnym – miałby tylko cyfrę 0 i nie dałoby się nim nic zapisać. Zapis „kreskowy" bywa tak nazywany, ale rządzi się innymi regułami.

Skąd wiadomo, ile cyfr będzie miała liczba?

Tyle, ile razy da się podzielić liczbę przez podstawę, zanim dojdzie się do zera. Im większa podstawa, tym krótszy zapis tej samej wartości.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Zamiana dziesiętny → binarnySystemy liczbowe Zamiana dziesiętny ↔ szesnastkowySystemy liczbowe Dodawanie binarne (z przeniesieniem)Systemy liczbowe Liczby ujemne w kodzie U2Systemy liczbowe Mnożenie i dzielenie binarneSystemy liczbowe Zamiana binarny → szesnastkowySystemy liczbowe