Wzór Bayesa

Wzór Bayesa pozwala odwrócić warunek. Znasz prawdopodobieństwo, że test wyjdzie dodatni u osoby chorej, i chcesz wiedzieć, jak bardzo prawdopodobne jest, że osoba z dodatnim wynikiem jest chora. To dwa różne pytania: $P(+\mid C)$ i $P(C\mid +)$. Zwykle znamy to pierwsze („od przyczyny do skutku"), a pytają o drugie („od skutku do przyczyny"). Na maturze rozszerzonej poznasz to po zdaniu typu „oblicz prawdopodobieństwo, że bochenek pochodzi z piekarni $P_1$, jeśli wiadomo, że jest razowy".

Wzór składa się z elementów, które już znasz z haseł prawdopodobieństwo warunkowe i prawdopodobieństwo całkowite. Licznik to prawdopodobieństwo jednej ścieżki na drzewie (przyczyna $B_k$, potem skutek $A$). Mianownik to suma wszystkich ścieżek prowadzących do skutku $A$, czyli prawdopodobieństwo całkowite $P(A)$. Wynik mówi, jaką część wszystkich ścieżek do $A$ stanowi ścieżka przez $B_k$.

Zasady, których pilnujesz:

• zdarzenia $B_1, \ldots, B_n$ (przyczyny) muszą być parami rozłączne i razem dawać całą przestrzeń $\Omega$, więc ich prawdopodobieństwa sumują się do $1$,
• skutek $A$ musi mieć $P(A) > 0$, bo przez to prawdopodobieństwo dzielimy,
• prawdopodobieństwo wstępne $P(B_k)$ (np. odsetek chorych w populacji) wchodzi do wzoru na równi z $P(A \mid B_k)$ – pominięcie go to najczęstszy błąd,
• wzór jest wymaganiem wyłącznie rozszerzenia; na poziomie podstawowym go nie ma.

Przykład 1 – test przesiewowy. Pewna choroba dotyczy $0{,}2\%$ populacji. Test daje wynik dodatni u $99\%$ chorych i wynik ujemny u $98\%$ zdrowych. Pan X ma wynik dodatni. Oblicz prawdopodobieństwo, że jest chory.

Najpierw nazywamy zdarzenia: $C$ – osoba chora, $Z$ – osoba zdrowa, $+$ – wynik dodatni. Z treści: $P(C) = 0{,}002$, więc $P(Z) = 0{,}998$, oraz $P(+ \mid C) = 0{,}99$. Uwaga na drugi warunek: zdrowi mają wynik ujemny w $98\%$ przypadków, więc dodatni w $2\%$, czyli $P(+ \mid Z) = 0{,}02$. Szukamy $P(C \mid +)$:

Mimo że test „trafia" w $99\%$ chorych, dodatni wynik oznacza chorobę tylko w około $9\%$ przypadków. Choroba jest rzadka, więc zdrowi z fałszywym alarmem (1 996 osób na 100 000) mocno przeważają nad chorymi z prawdziwym (198 osób) – widać to w tabeli wyżej.

Przykład 2 – trzy przyczyny. Chleb w supermarkecie pochodzi z piekarni $P_1, P_2, P_3$ w stosunku $2 : 3 : 4$. Chleb razowy stanowi $10\%$ dostaw z $P_1$, $12\%$ z $P_2$ i $15\%$ z $P_3$. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany bochenek pochodzi z $P_1$, jeśli jest razowy.

Stosunek $2 : 3 : 4$ daje razem $9$ części, więc $P(A_1) = \frac{2}{9}$, $P(A_2) = \frac{3}{9}$, $P(A_3) = \frac{4}{9}$ (suma równa $1$ – kontrola). Niech $B$ oznacza „chleb jest razowy". Mianownik, czyli $P(B)$:

Licznik to ścieżka przez $P_1$: $\frac{2}{9} \cdot 0{,}10 = \frac{20}{900}$. Stąd

Przy okazji: pozostałe dwie piekarnie dają odpowiednio $\frac{9}{29}$ i $\frac{15}{29}$. Razem $\frac{5 + 9 + 15}{29} = 1$, co jest dobrą kontrolą – skoro bochenek jest razowy, musi skądś pochodzić.

Przykład 3 – dwie urny i moneta. Rzucamy symetryczną monetą. Jeśli wypadnie orzeł, losujemy kulę z urny I (3 białe, 2 czarne), jeśli reszka – z urny II (1 biała, 4 czarne). Wylosowano kulę białą. Z jakim prawdopodobieństwem pochodzi z urny I?

Ścieżka przez urnę I: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$. Ścieżka przez urnę II: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}$. Białą kulę dają obie ścieżki, razem $\frac{4}{10}$, więc

Wynik jest większy niż $\frac{1}{2}$, bo urna I ma więcej białych kul – zgodnie z intuicją, że biała kula „wskazuje" na urnę I.

Odwrócony warunek. W przykładzie z testem uczeń podaje $P(+ \mid C) = 0{,}99$ jako odpowiedź na pytanie „czy pan X jest chory". To prawdopodobieństwo wyniku przy założeniu choroby, a pytanie dotyczy choroby przy założeniu wyniku. Poprawna odpowiedź to około $0{,}09$. Przed obliczeniami zapisz, co jest szukane, i sprawdź, po której stronie kreski stoi warunek.

Mianownik bez sumy. Zapis $P(C \mid +) = \frac{0{,}99 \cdot 0{,}002}{0{,}99 \cdot 0{,}002}$ daje $1$ – wynik niemożliwy w zadaniu, w którym ktoś ma fałszywy alarm. W mianowniku jest suma po wszystkich przyczynach (tu chorzy i zdrowi), a nie tylko składnik z licznika. Kontrola: wynik musi mieścić się między $0$ a $1$ i nie może być równy $1$, gdy istnieje druga przyczyna.

Pominięcie prawdopodobieństwa wstępnego. W zadaniu o chlebie ktoś liczy tylko udziały razowego w piekarniach: $\frac{10}{10 + 12 + 15} = \frac{10}{37} \approx 0{,}27$. To ignoruje, że z $P_1$ pochodzi tylko $\frac{2}{9}$ chleba. Poprawnie wychodzi $\frac{5}{29} \approx 0{,}17$. Prawdopodobieństwo wstępne $P(B_k)$ zawsze mnoży odpowiedni składnik.

Zła interpretacja „specyficzności". Zdanie „wynik ujemny u 98% zdrowych" to $P(- \mid Z) = 0{,}98$, a w obliczeniach potrzeba $P(+ \mid Z) = 0{,}02$. Wstawienie $0{,}98$ do mianownika zawyża go prawie pięćdziesięciokrotnie. W informatorze CKE osobny punkt przyznano właśnie za obliczenie prawdopodobieństw $P(- \mid C)$ i $P(+ \mid Z)$ – to znak, że ten krok się liczy.

Przyczyny, które nie sumują się do jedynki. Stosunek $2 : 3 : 4$ to udziały $\frac{2}{9}, \frac{3}{9}, \frac{4}{9}$, a nie $\frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{4}{4}$. Zawsze sprawdź, czy $P(B_1) + \ldots + P(B_n) = 1$, zanim użyjesz wzoru.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: