Wszystkie zagadnienia: Prawdopodobieństwo i statystyka

podstawowy matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykireguła mnożeniareguła dodawaniakombinatoryka

Reguła mnożenia i reguła dodawania

Q: Skąd wiem, czy mnożyć, czy dodawać?

Zadaj sobie pytanie, czy wynik powstaje z kilku kolejnych wyborów, czy jest jednym z kilku wykluczających się rodzajów. Kolejne wybory (koszula, spodnie, buty) mnożymy. Rodzaje wykluczające się (trasa bezpośrednia albo przez inne miasto) dodajemy. W trudniejszych zadaniach robisz jedno i drugie: dodajesz przypadki, a w każdym przypadku mnożysz.

Q: Co zrobić, gdy liczba możliwości w kroku zależy od wcześniejszego wyboru?

Jeżeli zależy tylko od tego, ile rzeczy zostało (kolorowanie, ustawianie bez powtórzeń), mnożysz dalej – np. 5 · 4 · 4 · 4. Jeżeli zależy od tego, co wybrano (np. od tego, czy wybrana cyfra była zerem), rozbij zadanie na przypadki i w każdym policz osobno. Ten sposób jest bezpieczniejszy niż szukanie jednego wzoru.

Opis

Reguły mnożenia i dodawania to podstawowe narzędzia kombinatoryki: pozwalają policzyć, ile jest możliwości, bez wypisywania ich wszystkich. Prawie każde zadanie „ile jest takich zestawów, kodów, liczb albo kolorowań" sprowadza się do ich połączenia.

Reguła mnożenia dotyczy wyborów, które wykonujemy jeden po drugim. Jeżeli pierwszy wybór można zrobić na $n_1$ sposobów, drugi na $n_2$ sposobów, trzeci na $n_3$ i tak dalej, to wszystkich możliwych wyników jest $n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \ldots$ . Ważne, że liczba możliwości w danym kroku nie może zależeć od tego, co wybrano wcześniej – może zależeć tylko od tego, ile rzeczy zostało do wyboru.

Reguła dodawania dotyczy sytuacji, w której wynik może należeć do jednej z kilku grup „albo – albo". Jeżeli pierwsza grupa ma $m_1$ elementów, druga $m_2$ , a żaden element nie leży w dwóch grupach naraz, to razem jest ich $m_1 + m_2$ . Warunek „żaden element nie leży w dwóch grupach" jest tu kluczowy – grupy muszą być rozłączne.

W zadaniach maturalnych reguły występują razem, więc warto trzymać się schematu:

Rozbij zadanie na rozłączne przypadki (reguła dodawania) – tak, żeby każdy możliwy wynik wpadał do dokładnie jednego przypadku.
W każdym przypadku policz kolejne wybory (reguła mnożenia) i pomnóż liczby możliwości.
Dodaj wyniki przypadków.
Gdy przypadków jest dużo, a „złych" wyników mało, policz przez dopełnienie: wszystkie możliwości minus te, które nie spełniają warunku.

Gotowe wzory na ustawianie i wybieranie elementów to skróty tych dwóch reguł: permutacje, wariacje i kombinacje. Wypisywanie możliwości na liście albo drzewie, zanim pojawi się jakikolwiek wzór, opisuje hasło zliczanie w prostych sytuacjach. Liczby z warunkami na cyfry to osobny, bardzo częsty typ: liczby spełniające warunki.

Wzory

Reguła mnożenia

n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k

Wybory kolejne,

n_i

– liczba możliwości w

i

-tym kroku. Gdy w każdym kroku jest tyle samo możliwości

n

, wychodzi

n^k

Reguła dodawania

m_1 + m_2 + \ldots + m_k

Przypadki rozłączne – żaden wynik nie należy do dwóch przypadków naraz.

Liczenie przez dopełnienie

\lvert A \rvert = \lvert \Omega \rvert - \lvert A' \rvert

\Omega

– wszystkie możliwości,

A'

– te, które nie spełniają warunku. Wygodne przy „co najmniej jeden".

Kolorowanie szeregu

k \cdot (k-1)^{m-1}

m

obszarów w szeregu (albo połączonych jak drzewo bez cykli),

k

kolorów, sąsiednie różne. Pierwszy obszar

k

sposobów, każdy następny

k-1

Tabela

Flaga z czterech pasów w pięciu kolorach, sąsiednie pasy w różnych kolorach – ile jest takich flag

Pas	Ile kolorów do wyboru	Dlaczego	Flag do tego miejsca
1	5	dowolny kolor	$5$
2	4	nie ten, co pas 1	$5 \cdot 4 = 20$
3	4	nie ten, co pas 2 (pas 1 nie przeszkadza)	$20 \cdot 4 = 80$
4	4	nie ten, co pas 3	$80 \cdot 4 = 320$

Przykład

Przykład 1 – reguła mnożenia. W stołówce zestaw składa się z jednej z 3 zup, jednego z 4 drugich dań i jednego z 2 deserów. Ile jest różnych zestawów?

Zestaw powstaje w trzech kolejnych krokach i liczba możliwości w żadnym kroku nie zależy od poprzednich wyborów:

3 \cdot 4 \cdot 2 = 24

Przykład 2 – obie reguły razem. Z miasta $A$ do miasta $C$ można dojechać bezpośrednio jedną z 3 dróg albo przez miasto $B$ : z $A$ do $B$ prowadzą 2 drogi, z $B$ do $C$ prowadzą 4 drogi. Ile jest różnych tras z $A$ do $C$ ?

Trasy bezpośrednie i trasy przez $B$ wykluczają się, więc to dwa rozłączne przypadki. W pierwszym jest $3$ trasy. W drugim jedziemy dwa odcinki jeden po drugim, więc mnożymy: $2 \cdot 4 = 8$ . Dodajemy przypadki:

3 + 2 \cdot 4 = 11

Przykład 3 – dopełnienie. Ile jest czterocyfrowych kodów PIN (każda z czterech pozycji to cyfra od $0$ do $9$ , cyfry mogą się powtarzać), w których występuje co najmniej jedna siódemka?

Rozbijanie na „dokładnie jedna", „dokładnie dwie" i tak dalej to cztery przypadki. Prościej policzyć kody bez siódemki. Wszystkich kodów jest $10^4 = 10\,000$ . Kodów bez siódemki jest $9^4 = 6561$ , bo na każdej pozycji wolno użyć tylko $9$ cyfr. Stąd

10^4 - 9^4 = 10\,000 - 6561 = 3439

Porównanie

	Reguła mnożenia	Reguła dodawania	Dopełnienie
Kiedy	wybory jeden po drugim	przypadki „albo – albo"	warunek „co najmniej" lub mało złych
Słowa w treści	„i", „po kolei", „każdy z"	„albo", „lub", „w każdym z przypadków"	„co najmniej jeden", „nie wszystkie"
Działanie	mnożymy liczby możliwości	dodajemy liczby elementów	wszystkie minus złe
Po angielsku	multiplication principle	addition principle	complement counting

Reguły nie wykluczają się, tylko współpracują: dodajemy wyniki przypadków, a wewnątrz każdego przypadku mnożymy.

Typowe błędy

Dodawanie zamiast mnożenia. Zestaw: 4 koszule, 3 pary spodni, 5 par butów. Zapis $4 + 3 + 5 = 12$ liczy sztuki ubrań, a nie zestawy. Każdą koszulę można połączyć z każdymi spodniami i butami, więc $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ . Pytanie kontrolne: czy wybieram jedno po drugim (mnożę), czy jedno z kilku (dodaję)?

Mnożenie zamiast dodawania. W przykładzie z trasami zapis $3 \cdot 2 \cdot 4 = 24$ łączy trasę bezpośrednią z trasą przez $B$ , jakby jedna musiała poprzedzać drugą. Przypadki wykluczające się dodajemy: $3 + 2 \cdot 4 = 11$ .

Przypadki, które się nakładają. Dla kodu PIN z co najmniej jedną siódemką uczeń liczy: siódemka na pierwszym miejscu ( $10^3 = 1000$ ), na drugim ( $1000$ ), na trzecim ( $1000$ ), na czwartym ( $1000$ ) i dodaje – wychodzi $4000$ , czyli więcej niż poprawne $3439$ . Kod $7777$ policzono cztery razy. Dodawać wolno tylko przypadki rozłączne, a te nie są.

Pominięty przypadek. W zadaniu o liczbach trzycyfrowych parzystych z dokładnie jedną cyfrą $0$ zero może stać na miejscu dziesiątek (wychodzi $36$ ) albo jedności ( $81$ ). Kto policzy tylko jeden z przypadków, dostaje $36$ albo $81$ – żadna z tych liczb nie ma swojej odpowiedzi w zadaniu, więc od razu widać, że czegoś brakuje.

Stała liczba możliwości w każdym kroku. Przy kolorowaniu czterech pasów flagi w pięciu kolorach zapis $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$ pozwala sąsiednim pasom mieć ten sam kolor. Po pierwszym pasie każdy następny ma $4$ możliwości: $5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 320$ . Z drugiej strony nie należy w każdym kroku odejmować coraz więcej: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2$ oznaczałoby, że wszystkie kolory mają być różne, a zadanie żąda tylko, by różne były sąsiednie.

Zapomniane „który z którym". Na dwóch półkach ustawiono 4 książki biograficzne i 5 fantasy tak, by na każdej półce były książki jednego rodzaju. Zapis $4! \cdot 5! = 2880$ pomija wybór, na której półce stoją książki biograficzne – są dwie możliwości, więc wynik to $4! \cdot 5! \cdot 2 = 5760$ . Każdy niezależny wybór to osobny czynnik, także ten „oczywisty".

Sprawdź się

Uzupełnij tabelę. W każdym wierszu liczysz wszystkie możliwości.

Sytuacja	Liczba możliwości
6 bluz, 4 czapki, 2 szaliki – wybieramy po jednym
3 drogi z $A$ do $B$ , 5 dróg z $B$ do $C$ – trasa z $A$ do $C$ przez $B$
Wybieramy jedną rzecz: 6 książek albo 5 filmów
Trzycyfrowe kody z cyframi $0$ – $9$ z co najmniej jedną siódemką

Gdy wybory wykonujemy jeden po drugim, liczby możliwości , a gdy zbiory są rozłączne i wynik leży w jednym z nich, liczby elementów .

Flaga ma 3 pasy w pięciu kolorach, sąsiednie pasy mają różne kolory. Takich flag jest .

Flaga ma 4 pasy w trzech kolorach, sąsiednie pasy mają różne kolory. Takich flag jest .

Zamek ma dwie litery ze zbioru $\{A, B, C\}$ (litery mogą się powtarzać) i po nich jedną cyfrę od $0$ do $9$ . Różnych kodów jest .

Kod zamka składa się z 3 cyfr od $0$ do $9$ (cyfry mogą się powtarzać). Kodów bez żadnej siódemki jest .

Najczęściej zadawane pytania

Skąd wiem, czy mnożyć, czy dodawać?

Zadaj sobie pytanie, czy wynik powstaje z kilku kolejnych wyborów, czy jest jednym z kilku wykluczających się rodzajów. Kolejne wybory (koszula, spodnie, buty) mnożymy. Rodzaje wykluczające się (trasa bezpośrednia albo przez inne miasto) dodajemy. W trudniejszych zadaniach robisz jedno i drugie: dodajesz przypadki, a w każdym przypadku mnożysz.

Co zrobić, gdy liczba możliwości w kroku zależy od wcześniejszego wyboru?

Jeżeli zależy tylko od tego, ile rzeczy zostało (kolorowanie, ustawianie bez powtórzeń), mnożysz dalej – np. $5 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ . Jeżeli zależy od tego, co wybrano (np. od tego, czy wybrana cyfra była zerem), rozbij zadanie na przypadki i w każdym policz osobno. Ten sposób jest bezpieczniejszy niż szukanie jednego wzoru.

Kiedy opłaca się liczyć przez dopełnienie?

Gdy w treści jest „co najmniej jeden", „przynajmniej raz" albo gdy przypadków spełniających warunek jest dużo, a niespełniających mało. Liczysz wszystkie możliwości, odejmujesz te, które warunku nie spełniają, i zostaje poszukiwana liczba. Dla kodów z co najmniej jedną siódemką: $10^4 - 9^4$ zamiast czterech przypadków.

Czy kolejność wykonywania wyborów ma znaczenie?

Dla wyniku nie – iloczyn nie zależy od kolejności czynników. Ma znaczenie dla wygody: najpierw wybieraj to, co najbardziej ograniczone (cyfra jedności w liczbie parzystej, pierwsza cyfra różna od zera), bo wtedy kolejne kroki mają stałą liczbę możliwości.

Czym reguła mnożenia różni się od wzoru na wariacje, permutacje i kombinacje?

Wzory na permutacje, wariacje i kombinacje są skrótami reguły mnożenia dla często spotykanych sytuacji, np. $4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ dla ustawiania czterech różnych elementów. Na poziomie podstawowym nie musisz znać ich nazw – wystarczy mnożyć liczby możliwości w kolejnych krokach.

Czy reguły mnożenia i dodawania są na karcie wzorów?

Nie. Karta „Wybrane wzory matematyczne" zawiera gotowe wzory kombinatoryczne (permutacje, kombinacje, wariacje), ale nie samą regułę mnożenia i dodawania, więc w zadaniu typu „ile jest takich zestawów" liczysz je samodzielnie.

Co jeśli nie wiem, jak zacząć?

Wypisz kilka pierwszych możliwości, sprawdź, jak wygląda jedna z nich i ile wyborów ją tworzy. Jeżeli możliwości jest niewiele, możesz je policzyć wprost (zob. zliczanie w prostych sytuacjach). Jeżeli dużo – zastanów się, jakie wybory wykonujesz po kolei, i zapisz liczbę możliwości każdego z nich jako czynnik.

Komentarz Autora

Reguły mnożenia i dodawania są wymaganiem podstawy programowej na poziomie podstawowym (Dz.U. 2024 poz. 1019, kombinatoryka). Na karcie „Wybrane wzory matematyczne" jest rozdział o kombinatoryce, ale znajdziesz w nim tylko gotowe wzory na permutacje, kombinacje i wariacje – samych reguł mnożenia i dodawania tam nie ma, więc musisz umieć je zastosować bez ściągi.

W maju 2024 (poziom podstawowy, zadanie 27, za 1 punkt) trzeba było policzyć kody czterocyfrowe z cyfr $1, 3, 6, 8$ , każda użyta dokładnie raz. Wynik to $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$ (wersja A: odpowiedź C, wersja B: odpowiedź D – kolejność odpowiedzi różni się między wersjami). Według sprawozdania CKE było to najłatwiejsze zadanie w arkuszu poziomu podstawowego (poziom wykonania 85%). W czerwcu 2025 (termin dodatkowy, poziom podstawowy, zadanie 28, za 1 punkt) pytano o liczby trzycyfrowe parzyste z dokładnie jedną cyfrą $0$ ; odpowiedź z klucza to B, czyli $117 = 36 + 81$ : zero na miejscu dziesiątek daje $9 \cdot 1 \cdot 4 = 36$ , zero na miejscu jedności daje $9 \cdot 9 \cdot 1 = 81$ . W próbnym egzaminie z marca 2026 (poziom podstawowy, zadanie 28, za 1 punkt) kolorowano rysunek drwala z sześciu obszarów siedmioma kolorami tak, by sąsiednie obszary miały różne kolory. Odpowiedź z klucza to A: $7 \cdot 6^5 = 54\,432$ – siedem kolorów dla pierwszego obszaru i po sześć dla każdego z pięciu pozostałych.

W Informatorze o egzaminie maturalnym (poziom podstawowy) zadanie 63 dotyczy zestawów ubrań: 4 koszule, 3 pary spodni i 5 par butów, wśród nich po jednym elemencie niebieskim w każdej kategorii. W podpunkcie 63.1 (za 1 punkt) wszystkich zestawów jest $60$ (odpowiedź C). W podpunkcie 63.2 (za 3 punkty) trzeba policzyć zestawy z dokładnie jednym niebieskim elementem: $2 \cdot 4 + 3 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 8 + 12 + 6 = 26$ – trzy rozłączne przypadki, w każdym reguła mnożenia. Za samo rozpisanie zestawów na trzy grupy przysługuje 1 punkt, za poprawny wynik jednego przypadku także 1 punkt, a za obliczenie wszystkich trzech przypadków – 2 punkty. W Zbiorze zadań CKE (kombinatoryka) zadanie 58 (książki na dwóch półkach) ma odpowiedź A, $4! \cdot 5! \cdot 2$ , a zadanie 59 (obrusy z trzech pasów, 5 kolorów materiału, 3 kolory lamówki) – odpowiedź A, $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ . Zadanie 64 z Informatora (za 4 punkty) łączy liczenie z prawdopodobieństwem – rozwiązanie krok po kroku jest w haśle liczby spełniające warunki, a iloraz przez $|\Omega|$ omawia prawdopodobieństwo klasyczne.

Rada pierwsza: zaczynaj od najbardziej ograniczonego wyboru. W liczbach trzycyfrowych parzystych to cyfra jedności i cyfra setek (nie może być $0$ ) – dopiero potem wybierasz resztę. Wtedy liczba możliwości w kolejnych krokach jest stała i nie ma pułapek. Rada druga: jeżeli wynik jest nieduży, przed ostateczną odpowiedzią wypisz kilka pierwszych możliwości i sprawdź, czy pasują do Twojego rachunku.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Ile jest liczb spełniających warunki – liczby wielocyfroweKombinatoryka Zliczanie – wypisywanie możliwości i drzewoKombinatoryka KombinacjeKombinatoryka PermutacjeKombinatoryka Symbol Newtona i trójkąt PascalaKombinatoryka Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeńKombinatoryka