Wszystkie zagadnienia: Prawdopodobieństwo i statystyka

średni matura rozszerzona z matematykikombinacjesymbol Newtonawybór bez kolejności

Kombinacje

Q: Dlaczego nk dzielimy przez k!?

Iloczyn n(n-1)· … · (n-k+1) liczy wybory z kolejnością. Ten sam zbiór k elementów został w nim policzony k! razy, po jednym razie dla każdego ustawienia. Dzielenie przez k! usuwa to powielenie. Dla n = 4, k = 2 jest (4 · 3)/2 = 6 zbiorów.

Q: Co oznacza „dokładnie k razy” w zadaniach o cyfrach?

Że spośród wszystkich pozycji wybieramy k dla tej cyfry – nk sposobów – a na pozostałych pozycjach cyfra ta już nie może stać. Dlatego w Przykładzie 3 na wolnych miejscach stoją cyfry różne od 0 i od 5.

Q: Czy kolejność wyboru miejsc ma znaczenie?

Nie, o ile wstawiamy tę samą cyfrę. Wybór pozycji \2, 5\ dla dwóch jednakowych cyfr jest tym samym, co wybór \5, 2\. Gdybyśmy wstawiali dwie różne cyfry, kolejność wyboru miejsc ma już znaczenie, ale wtedy zwykle wybieramy miejsca dla każdej cyfry osobnym krokiem.

Q: Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru n-elementowego?

2^n. Każdy element albo należy do podzbioru, albo nie, a wybory są niezależne. Ten sam wynik daje suma n0 + n1 + … + nn, bo liczymy osobno podzbiory o różnych liczbach elementów. Dla n = 6 jest to 64.

Opis

Kombinacja to wybór $k$ elementów spośród $n$ różnych elementów, w którym nie liczy się kolejność. Wybranie trzech osób do delegacji to to samo, czy wymienimy je w kolejności Ania, Bartek, Celina, czy Celina, Ania, Bartek – powstaje ten sam zespół. Liczbę takich wyborów zapisujemy symbolem Newtona $\binom{n}{k}$ (czytamy „n po k"). Sam symbol, jego własności i trójkąt Pascala omawia hasło symbol Newtona i trójkąt Pascala; tu uczymy się go stosować w zadaniach.

Na maturze rozszerzonej zadania z kombinacjami to prawie nigdy samo „wybierz $k$ z $n$ ". Zwykle trzeba rozbić sytuację na kilka niezależnych kroków i do każdego dobrać odpowiednie narzędzie. Cztery zasady, które porządkują większość zadań:

Kolejność nie ma znaczenia – kombinacja. Jeżeli po zamianie wybranych elementów miejscami dostajemy ten sam obiekt (zespół, zbiór cyfr, zestaw kart), liczymy $\binom{n}{k}$ . Jeżeli dostajemy inny obiekt (kod, numer, ustawienie w rzędzie), kolejność się liczy – patrz wariacje i permutacje.
Wybór miejsc. Gdy w ciągu cyfr ma być dokładnie $k$ jednakowych cyfr, wybieramy $k$ z $n$ pozycji dla tej cyfry: $\binom{n}{k}$ . Kolejność pozycji nie ma znaczenia, bo cyfry są jednakowe.
Kroki łączymy regułą mnożenia. Najpierw wybieramy miejsca dla jednej cyfry, potem spośród wolnych miejsc – dla drugiej, na końcu resztę wypełniamy. Wyniki kolejnych kroków mnożymy (zob. reguła mnożenia i dodawania).
Podzbiory. Zbiór $n$ -elementowy ma $\binom{n}{k}$ podzbiorów $k$ -elementowych, a wszystkich podzbiorów jest $2^n$ (każdy element albo bierzemy, albo nie).

Kombinacje, o których mowa w tym haśle, to wybór bez powtórzeń – każdy element wybieramy co najwyżej raz. Jak ustawiać elementy z uwzględnieniem kolejności, opisują osobne hasła o permutacjach i wariacjach.

Wzory

Liczba kombinacji karta CKE

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Wybór

k

spośród

n

różnych elementów bez kolejności,

0 \leq k \leq n

Postać iloczynowa karta CKE

\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}

Wygodna do liczenia:

k

czynników na górze i

k!

na dole.

Związek z wariacjami

\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!} \cdot \frac{1}{k!}

Wariacji bez powtórzeń jest

k!

razy więcej niż kombinacji, bo każdy wybór można ustawić na

k!

sposobów.

Dwa wybory z jednego zbioru

\binom{n}{k} \cdot \binom{n-k}{m}

Najpierw

k

miejsc dla jednej cyfry, potem

m

spośród

n-k

pozostałych dla drugiej.

Wszystkie podzbiory

2^{n}

Liczba wszystkich podzbiorów zbioru

n

-elementowego (razem z pustym i całym).

Tabela

Wybór 2 elementów z czterech:

\{a, b, c, d\}

– kombinacje i ustawienia

Kombinacja (zbiór)	Ustawienia (ciągi)	Ile ustawień
$\{a, b\}$	$ab$ , $ba$	2
$\{a, c\}$	$ac$ , $ca$	2
$\{a, d\}$	$ad$ , $da$	2
$\{b, c\}$	$bc$ , $cb$	2
$\{b, d\}$	$bd$ , $db$	2
$\{c, d\}$	$cd$ , $dc$	2
razem	$4 \cdot 3 = 12$ ciągów	$\binom{4}{2} = \frac{12}{2!} = 6$ zbiorów

Przykład

Przykład 1 – komitet z dwóch grup. W klasie jest 12 dziewcząt i 8 chłopców. Z klasy wybieramy 5-osobowy komitet. Ile jest komitetów, w których są dokładnie dwie dziewczyny? A ile takich, w których jest co najmniej jedna dziewczyna?

Kolejność w komitecie nie ma znaczenia, więc liczymy kombinacje. Dwie dziewczyny wybieramy na $\binom{12}{2} = 66$ sposobów, a trzech chłopców – na $\binom{8}{3} = 56$ sposobów. Wybory są niezależne, więc mnożymy:

\binom{12}{2} \cdot \binom{8}{3} = 66 \cdot 56 = 3696

W drugim pytaniu wygodniej policzyć dopełnienie: wszystkich komitetów jest $\binom{20}{5} = 15\,504$ , a komitetów bez żadnej dziewczyny (same chłopaki) – $\binom{8}{5} = 56$ . Zatem

\binom{20}{5} - \binom{8}{5} = 15\,504 - 56 = 15\,448

Przykład 2 – wybór miejsc dla dwóch cyfr. Ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dokładnie dwie dwójki i dokładnie trzy trójki? (To zadanie z matury rozszerzonej z maja 2011.)

Mamy 8 pozycji. Miejsca dla dwójek wybieramy na $\binom{8}{2} = 28$ sposobów. Z sześciu wolnych pozycji wybieramy miejsca dla trójek: $\binom{6}{3} = 20$ sposobów. Na trzech pozostałych pozycjach może stać dowolna cyfra poza $0$ , $2$ i $3$ , czyli jedna z siedmiu: $1, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ . Zatem

\binom{8}{2} \cdot \binom{6}{3} \cdot 7^3 = 28 \cdot 20 \cdot 343 = 192\,080

Przykład 3 – zero na początku. Ile jest liczb sześciocyfrowych, w zapisie których cyfra $0$ występuje dokładnie trzy razy i dokładnie raz występuje cyfra $5$ ? (Matura rozszerzona, maj 2013.)

Pierwsza cyfra liczby nie może być zerem, więc miejsca dla zer wybieramy spośród pięciu pozostałych pozycji: $\binom{5}{3} = 10$ . Zostają trzy wolne pozycje (w tym pierwsza). Cyfrę $5$ wstawiamy na jedną z nich – 3 sposoby. Dwie ostatnie pozycje wypełniamy cyframi różnymi od $0$ i od $5$ , czyli jedną z ośmiu: $8 \cdot 8$ sposobów.

\binom{5}{3} \cdot 3 \cdot 8 \cdot 8 = 10 \cdot 3 \cdot 64 = 1920

Podobne liczby wielocyfrowe na poziomie podstawowym, bez symbolu Newtona, omawia hasło liczby spełniające warunki.

Porównanie

Nazwa	Po angielsku	Kolejność	Powtórzenia	Liczba
Kombinacja	combination	nie ma znaczenia	nie	$\binom{n}{k}$
Wariacja bez powtórzeń	k-permutation	ma znaczenie	nie	$\frac{n!}{(n-k)!}$
Wariacja z powtórzeniami	sequence with repetition	ma znaczenie	tak	$n^k$
Permutacja	permutation	ma znaczenie	nie ( $k = n$ )	$n!$

Uwaga na język angielski: słowo „permutation" bywa tam używane także dla wariacji bez powtórzeń, więc samo tłumaczenie nazwy nie rozstrzyga, o który wzór chodzi. Rozstrzyga pytanie: czy po zamianie dwóch wybranych elementów miejscami dostaję ten sam obiekt?

Typowe błędy

Wariacja zamiast kombinacji. Do zespołu 4 osób z 10 uczeń liczy $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ . Ale zespół Ania–Bartek–Celina–Darek to ten sam zespół co Darek–Celina–Bartek–Ania, a w iloczynie policzono go $4! = 24$ razy. Poprawnie: $\frac{5040}{24} = 210 = \binom{10}{4}$ .

Zapomniany czynnik $(n-k)!$ . Zapis $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!}$ jest błędny. Dla $\binom{5}{2}$ daje $\frac{120}{2} = 60$ zamiast $10$ . Szybka kontrola: kombinacji nigdy nie jest więcej niż wariacji bez powtórzeń ( $5 \cdot 4 = 20$ ), a tu $60 > 20$ .

Podwójne liczenie przy „co najmniej jedna". W komitecie 5 z 20 osób (12 dziewcząt, 8 chłopców) uczeń wybiera najpierw jedną dziewczynę na 12 sposobów, a potem resztę komitetu z 19 pozostałych osób: $12 \cdot \binom{19}{4} = 46\,512$ . Komitet z kilkoma dziewczynami jest tak policzony wiele razy, bo każda z nich mogła być „tą pierwszą". Poprawnie: dopełnienie, $\binom{20}{5} - \binom{8}{5} = 15\,448$ .

Dwa wybory z tego samego zbioru miejsc. W Przykładzie 2 błędne jest $\binom{8}{2} \cdot \binom{8}{3} = 28 \cdot 56 = 1568$ – trójki wylądowałyby także na pozycjach już zajętych przez dwójki. Drugi wybór robimy spośród wolnych miejsc: $\binom{8}{2} \cdot \binom{6}{3} = 28 \cdot 20 = 560$ ułożeń cyfr $2$ i $3$ .

Zero na pierwszym miejscu. Przy liczbach wielocyfrowych wybór miejsc dla zer spośród wszystkich pozycji ( $\binom{6}{3}$ zamiast $\binom{5}{3}$ w Przykładzie 3) prowadzi do liczb zaczynających się od zera, które nie są sześciocyfrowe. Albo wybieramy miejsca zer tylko spośród pozycji od drugiej, albo liczymy wszystkie ciągi i odejmujemy te z zerem na początku.

Dodawanie zamiast mnożenia (i odwrotnie). Wybory wykonywane jeden po drugim (dwie dziewczyny i trzech chłopców) mnożymy. Rozłączne przypadki (komitet z dwiema dziewczynami albo z trzema) dodajemy. Pomylenie tych operacji daje wynik rzędu setek zamiast tysięcy.

Sprawdź się

Uzupełnij wartości symbolu Newtona i liczby wyborów.

Wybór	Liczba sposobów
2 punkty z 7 punktów
3 osoby z 10 osób
5 zawodników z 12
2 miejsca dla cyfry w liczbie 8-cyfrowej

Zbiór sześcioelementowy ma podzbiorów trzyelementowych i wszystkich podzbiorów.

W grupie jest 5 dziewcząt i 4 chłopców. Trzyosobową delegację z dokładnie dwiema dziewczynami można wybrać na sposobów.

Wszystkich pięciocyfrowych kodów, w których cyfra $7$ występuje dokładnie dwa razy, a pozostałe trzy cyfry należą do zbioru $\{1, 2, 3\}$ (mogą się powtarzać), jest .

Z 10 osób wybieramy przewodniczącego, zastępcę i skarbnika. Czy kolejność wyboru ma w tym zadaniu znaczenie? .

Wariacji bez powtórzeń $5 \cdot 4 = 20$ , a kombinacji dwuelementowych z pięciu elementów jest .

Najczęściej zadawane pytania

Jak odróżnić kombinację od wariacji?

Sprawdź, czy zamiana dwóch wybranych elementów miejscami daje inny obiekt. Zespół, zbiór cyfr, zestaw kart to kombinacje – kolejność nie ma znaczenia. Kod, numer, hasło, ustawienie w rzędzie to wariacje albo permutacje – kolejność ma znaczenie. Dla $k$ elementów każda kombinacja odpowiada $k!$ ustawieniom.

Dlaczego

\binom{n}{k}

dzielimy przez

k!

Iloczyn $n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)$ liczy wybory z kolejnością. Ten sam zbiór $k$ elementów został w nim policzony $k!$ razy, po jednym razie dla każdego ustawienia. Dzielenie przez $k!$ usuwa to powielenie. Dla $n = 4$ , $k = 2$ jest $\frac{4 \cdot 3}{2} = 6$ zbiorów.

Co oznacza „dokładnie

k

razy” w zadaniach o cyfrach?

Że spośród wszystkich pozycji wybieramy $k$ dla tej cyfry – $\binom{n}{k}$ sposobów – a na pozostałych pozycjach cyfra ta już nie może stać. Dlatego w Przykładzie 3 na wolnych miejscach stoją cyfry różne od $0$ i od $5$ .

Czy kolejność wyboru miejsc ma znaczenie?

Nie, o ile wstawiamy tę samą cyfrę. Wybór pozycji $\{2, 5\}$ dla dwóch jednakowych cyfr jest tym samym, co wybór $\{5, 2\}$ . Gdybyśmy wstawiali dwie różne cyfry, kolejność wyboru miejsc ma już znaczenie, ale wtedy zwykle wybieramy miejsca dla każdej cyfry osobnym krokiem.

Kiedy liczyć dopełnienie zamiast przypadków?

Gdy warunek brzmi „co najmniej jeden", a rozbicie na przypadki dałoby wiele składników. Od liczby wszystkich możliwości odejmujemy te, które warunku nie spełniają. Dla komitetu 5 z 20 osób i warunku „co najmniej jedna dziewczyna" wystarczy jedno odejmowanie zamiast sumy pięciu iloczynów.

Ile jest wszystkich podzbiorów zbioru

n

-elementowego?

$2^n$ . Każdy element albo należy do podzbioru, albo nie, a wybory są niezależne. Ten sam wynik daje suma $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \ldots + \binom{n}{n}$ , bo liczymy osobno podzbiory o różnych liczbach elementów. Dla $n = 6$ jest to $64$ .

Czy kombinacje dotyczą poziomu podstawowego?

Nie jako osobny wzór. Zasady programu na poziomie podstawowym nie używają nazw „kombinacja" i „wariacja" – podobne zadania rozwiązuje się tam regułą mnożenia i wypisywaniem możliwości (zob. zliczanie w prostych sytuacjach). Symbol Newtona i wzory na liczbę kombinacji są wymagane na poziomie rozszerzonym.

Komentarz Autora

Wzór na liczbę kombinacji jest na karcie „Wybrane wzory matematyczne", z której korzystasz na maturze: w rozdziale 13 („Kombinatoryka") jako $\binom{n}{k}$ , a definicja symbolu Newtona – w rozdziale 4. Nie musisz go pamiętać. Musisz umieć rozpoznać, kiedy go użyć, i rozbić zadanie na kroki.

W czerwcu 2026 (poziom rozszerzony, zadanie 2, za 3 punkty) trzeba było policzyć dziewięciocyfrowe kody: na pierwszym miejscu cyfra $2$ , cyfra $4$ dokładnie trzy razy, cyfra $8$ dokładnie dwa razy, a pozostałe cyfry to parami różne liczby nieparzyste. Odpowiedź z klucza: $33\,600$ . Klucz przyznawał pierwszy punkt za ustawienia cyfr $4$ i $8$ , czyli $\binom{8}{3}$ oraz $\binom{5}{2}$ (albo $\binom{8}{2}$ i $\binom{6}{3}$ ), a dwa punkty – za zapisanie całego iloczynu $\binom{8}{3} \cdot \binom{5}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3$ . Cyfry nieparzyste ustawiamy jak wariację bez powtórzeń: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ , bo mają się różnić i ich kolejność ma znaczenie.

W maju 2024 (poziom rozszerzony, zadanie 6, za 3 punkty): liczby, w których żadna cyfra się nie powtarza, dokładnie trzy cyfry są nieparzyste i dokładnie dwie parzyste. Odpowiedź z klucza: $11\,040$ . Klucz dopuszczał dwie drogi: $\binom{5}{3} \cdot \binom{5}{2} \cdot 5!$ ciągów, z których odejmujemy te z zerem na początku ( $\binom{5}{3} \cdot 4 \cdot 4! = 960$ ), albo rozbicie na przypadki według pierwszej cyfry. Poziom wykonania tego zadania wyniósł 18% – według sprawozdania CKE było to jedno z najtrudniejszych zadań tego arkusza, a komentarz mówi tylko o poziomie wykonania, bez opisu konkretnych błędów.

Wcześniejsze zadania tego typu miały ten sam schemat. W czerwcu 2022 trzeba było policzyć liczby pięciocyfrowe z dokładnie dwiema cyframi nieparzystymi (odpowiedź: $27\,500$ ), w maju 2013 – Przykład 3 powyżej ( $1920$ ), a w maju 2011 – Przykład 2 ( $192\,080$ ). Na poziomie podstawowym podobne liczby wielocyfrowe liczy się samą regułą mnożenia, bez symbolu Newtona.

Rada własna: zanim zaczniesz liczyć, zapisz jednym zdaniem, co jest „kombinacją" (zbiór miejsc? zbiór cyfr? zespół?), a co ma znaczenie kolejności (cyfry różne ustawiane na miejscach). I zawsze sprawdź, czy pierwsza cyfra może być zerem.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Symbol Newtona i trójkąt PascalaKombinatoryka Ile jest liczb spełniających warunki – liczby wielocyfroweKombinatoryka PermutacjeKombinatoryka Reguła mnożenia i reguła dodawaniaKombinatoryka Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeńKombinatoryka Wzór dwumianowy NewtonaKombinatoryka