Wszystkie zagadnienia: Prawdopodobieństwo i statystyka

średni matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykiliczby wielocyfrowezliczaniereguła mnożenia

Ile jest liczb spełniających warunki – liczby wielocyfrowe

Q: Czy w liczbie wielocyfrowej zero może stać na pierwszym miejscu?

Nie. Zapis 0123 oznacza liczbę 123, trzycyfrową. Dlatego w zadaniach „ile jest liczb czterocyfrowych…" na pierwszym miejscu stoi jedna z cyfr 1, …, 9. Wyjątkiem są zadania o numerach, kodach i PIN-ach, gdzie treść mówi, że to ciąg cyfr, a nie liczba – tam zero na początku jest dozwolone, o ile treść nie mówi inaczej.

Q: Co oznacza słowo „dokładnie" w treści zadania?

„Dokładnie jedna cyfra 0" znaczy: zero występuje raz, a na pozostałych miejscach stoją inne cyfry. Zadanie nie dopuszcza dwóch ani trzech zer. Dla liczb trzycyfrowych nieparzystych zero może stać tylko w środku (nie na początku, nie na końcu, bo ostatnia cyfra jest nieparzysta), co daje 9 · 1 · 5 = 45 liczb.

Opis

Zadanie brzmi zwykle tak: „Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry nieparzyste?". Liczb nie wypisujesz – liczysz, na ile sposobów można wypełnić kolejne miejsca w zapisie liczby. Każde miejsce (tysiące, setki, dziesiątki, jedności) to osobny wybór cyfry, a wyniki tych wyborów mnożysz przez siebie. Samą regułę mnożenia i dodawania omawia hasło reguła mnożenia i dodawania; tutaj chodzi o to, jak ją zastosować do cyfr, bo cyfry mają swoje pułapki.

Cztery zasady, które obsługują większość zadań:

Pierwsza cyfra nie może być zerem. Liczba czterocyfrowa to $1000$ – $9999$ , więc na pierwszym miejscu stoi jedna z dziewięciu cyfr $1, \ldots, 9$ , a na pozostałych – jedna z dziesięciu cyfr $0, \ldots, 9$ .
Zaczynaj od najbardziej ograniczonego miejsca. Gdy liczba ma być parzysta, najpierw wybierasz ostatnią cyfrę (z $0, 2, 4, 6, 8$ ), a potem resztę. Gdy ma być podzielna przez $5$ – ostatnią cyfrę z $\{0, 5\}$ . Wybory z mniejszą liczbą możliwości idą na początek, bo od nich zależą pozostałe.
Warunek „tylko cyfry z zestawu" zmniejsza wybór na każdym miejscu, a warunek „cyfry się nie powtarzają" – z każdym kolejnym miejscem o jeden. Jeżeli w zestawie jest zero, pierwsza cyfra ma o jedną możliwość mniej niż pozostałe.
Gdy warunek rozpada się na rozłączne przypadki, policz je osobno i dodaj. Czasem łatwiej policzyć wszystkie liczby i odjąć te, które warunku nie spełniają – to dopełnienie (też opisane w haśle o regule mnożenia i dodawania).

Zadanie możesz sprawdzić na małym przykładzie: wypisz wszystkie liczby dwucyfrowe o tej samej własności i porównaj z wynikiem schematu. Wypisywanie możliwości jako technikę pomocniczą omawia hasło zliczanie w prostych sytuacjach.

Na poziomie rozszerzonym warunki bywają bardziej złożone (na przykład „iloczyn cyfr jest parzysty i mniejszy od $5$ "), a rozwiązanie wymaga rozbicia na przypadki i dopełnienia, często z symbolem Newtona do wyboru miejsc dla powtarzających się cyfr. Pomagają wtedy gotowe wzory z haseł permutacje, wariacje i kombinacje – ale schemat „miejsce po miejscu" nadal działa i wystarcza do rozwiązania.

Wzory

Liczba liczb

n

-cyfrowych

9 \cdot 10^{n-1}

Dla

n = 4

9000

liczb, od

1000

9999

Cyfry tylko z

k

-elementowego zestawu bez zera

k^{n}

Na każdym miejscu

k

możliwości, więc

k \cdot k \cdot \ldots \cdot k

(

n

czynników).

Cyfry tylko z

k

-elementowego zestawu z zerem

(k-1) \cdot k^{n-1}

Pierwsza cyfra:

k - 1

możliwości (bez zera), pozostałe: po

k

Cyfry różne, liczba

n

-cyfrowa

9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \ldots

n

czynników: pierwszy

9

(bez zera), drugi

9

(zero wraca do gry, odpada pierwsza cyfra), potem

8, 7, \ldots

. Dla

n = 4

9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7

Wybór miejsc dla powtarzającej się cyfry karta CKE

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Na ile sposobów wybrać

k

miejsc spośród

n

, bez względu na kolejność.

Tabela

Liczby trzycyfrowe (

900

wszystkich, od

100

999

) o różnych własnościach cyfr

Warunek	Wybory (setki, dziesiątki, jedności)	Liczba liczb
bez dodatkowego warunku	$9 \cdot 10 \cdot 10$	900
nieparzyste	$9 \cdot 10 \cdot 5$	450
tylko cyfry $1, 3, 5$	$3 \cdot 3 \cdot 3$	27
tylko cyfry $0, 1, 2$	$2 \cdot 3 \cdot 3$	18
tylko cyfry parzyste	$4 \cdot 5 \cdot 5$	100
nie występuje cyfra $2$	$8 \cdot 9 \cdot 9$	648
cyfry się nie powtarzają	$9 \cdot 9 \cdot 8$	648
cyfra $5$ dokładnie raz	$9 \cdot 9 + 8 \cdot 9 + 8 \cdot 9$	225
cyfra $5$ co najmniej raz	$900 - 8 \cdot 9 \cdot 9$	252

Przykład

Przykład 1 – zakaz cyfry i parzystość. Ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych nieparzystych, w których zapisie nie występuje cyfra $3$ ?

Zaczynamy od miejsca najbardziej ograniczonego, czyli od jedności. Ma być cyfra nieparzysta, ale nie $3$ : zostają $1, 5, 7, 9$ – cztery możliwości. Setki: cyfry $1, \ldots, 9$ bez $3$ , czyli osiem możliwości. Dziesiątki: cyfry $0, \ldots, 9$ bez $3$ , czyli dziewięć możliwości. Wybory są niezależne, więc je mnożymy:

8 \cdot 9 \cdot 4 = 288

Przykład 2 – przypadki. Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których wszystkie cyfry są różne?

Od ostatniej cyfry zależy, ile zostaje dla pierwszej, więc rozbijamy zadanie na dwa rozłączne przypadki.

Przypadek 1: ostatnia cyfra to $0$ . Pierwsza cyfra: dowolna z $1, \ldots, 9$ (dziewięć możliwości), druga: osiem, trzecia: siedem. Daje to $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$ liczby.

Przypadek 2: ostatnia cyfra to $2, 4, 6$ albo $8$ (cztery możliwości). Pierwsza cyfra nie może być zerem ani ostatnią cyfrą, więc ma osiem możliwości. Druga cyfra: dziesięć cyfr minus dwie zajęte, czyli osiem, trzecia: siedem. Daje to $4 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 1792$ liczby.

Przypadki są rozłączne (ostatnia cyfra jest inna), więc dodajemy:

504 + 1792 = 2296

Przykład 3 – dopełnienie. Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie występuje cyfra $7$ (co najmniej raz)?

Bezpośrednio trzeba by liczyć jedną, dwie, trzy i cztery siódemki. Prościej policzyć liczby, w których siódemki nie ma, i odjąć od wszystkich. Wszystkich liczb czterocyfrowych jest $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$ . Bez cyfry $7$ : pierwsza cyfra ma osiem możliwości (bez $0$ i $7$ ), pozostałe po dziewięć, czyli $8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 5832$ . Stąd

9000 - 5832 = 3168

Porównanie

Sformułowanie w treści	Zestaw cyfr na miejscu	Pierwsza cyfra	Pułapka
występują tylko cyfry $0, 5, 7$	trzy cyfry, mogą się powtarzać	zero odpada	$3^5$ zamiast $2 \cdot 3^4$
nie występuje cyfra $2$	dziewięć cyfr	osiem możliwości	dziewięć na pierwszym miejscu
cyfry się nie powtarzają	maleje o jeden z każdą cyfrą	dziewięć możliwości	$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$
dokładnie raz cyfra $5$	jedna piątka, na pozostałych miejscach cyfry bez piątki	zależy od położenia piątki	jeden schemat dla wszystkich położeń
co najmniej raz cyfra $5$	liczymy dopełnieniem	–	odjęcie od złej liczby

Angielskie nazwy: reguła mnożenia – multiplication principle, dopełnienie – complement (counting the complement), cyfra – digit, liczba $n$ -cyfrowa – $n$ -digit number.

Typowe błędy

Zero na pierwszym miejscu. Dla liczb czterocyfrowych uczeń pisze $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10\,000$ zamiast $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$ . Wynik zawiera ciągi typu $0123$ , które nie są liczbami czterocyfrowymi. Zawsze zapytaj: czy zero wolno postawić na pierwszym miejscu? Przy zestawie $\{0, 5, 7\}$ poprawny wynik dla liczb pięciocyfrowych to $2 \cdot 3^4 = 162$ , a nie $3^5 = 243$ .

Jednakowa liczba wyborów przy zakazie cyfry. Przy warunku „nie występuje cyfra $2$ " uczeń pisze $9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$ . Na pierwszym miejscu odpadają jednak dwie cyfry ( $0$ i $2$ ), więc wybór ma osiem możliwości: $8 \cdot 9 \cdot 9 = 648$ . Policz dla każdego miejsca osobno, które cyfry zostały.

Pierwsza cyfra przy cyfrach różnych. Zapis $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ pomija zakaz zera na początku. Liczba czterocyfrowa o różnych cyfrach ma $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$ możliwości: po wyborze pierwszej cyfry zero „wraca" do puli.

Mnożenie bez rozbicia na przypadki. W zadaniu o parzystych liczbach z różnymi cyframi zapis $9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 = 2520$ wygląda wiarygodnie, ale zakłada, że liczba pierwszych cyfr nie zależy od ostatniej. Zależy: dla ostatniej cyfry $0$ jest ich dziewięć, dla pozostałych parzystych – osiem. Poprawny wynik to $504 + 1792 = 2296$ . Reguła: jeśli liczba możliwości na jednym miejscu zależy od wyboru na innym, rozbij zadanie na przypadki.

Dodawanie zamiast mnożenia (i odwrotnie). Wybory na kolejnych miejscach mnożysz, a rozłączne przypadki dodajesz. Wynik $8 + 9 + 4$ zamiast $8 \cdot 9 \cdot 4$ jest zbyt mały o rząd wielkości. Nie dodajesz też liczb z przypadków, które się nakrywają – jedną liczbę policzysz wtedy dwa razy.

Dokładnie raz – jeden schemat dla wszystkich położeń. Liczba trzycyfrowa z dokładnie jedną piątką: wstawienie piątki na trzy miejsca i wypełnienie reszty po dziewięć daje $3 \cdot 9 \cdot 9 = 243$ , a poprawny wynik to $225$ . Różnica bierze się stąd, że gdy piątka jest na końcu albo w środku, pierwsza cyfra nie może być zerem i ma osiem możliwości (bez zera i piątki), nie dziewięć. Liczysz więc trzy położenia osobno: $81 + 72 + 72 = 225$ .

Dopełnienie od złej liczby. Przy „co najmniej raz cyfra $7$ " w liczbach czterocyfrowych uczeń odejmuje $9^4 = 6561$ od $9000$ i dostaje $2439$ . Liczb czterocyfrowych bez siódemki jest jednak $8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 5832$ , a nie $9^4$ , bo zero na początku też jest zabronione.

Sprawdź się

Zadania na liczby naturalne. Uzupełnij tabelę.

Warunek	Liczba liczb
czterocyfrowe nieparzyste
czterocyfrowe o różnych cyfrach
trzycyfrowe bez cyfry $5$
trzycyfrowe z dokładnie jednym zerem
trzycyfrowe parzyste bez cyfry $0$
pięciocyfrowe z samych cyfr $0$ i $1$
trzycyfrowe z co najmniej jedną cyfrą $5$

Liczb trzycyfrowych podzielnych przez $5$ , w których zapisie nie ma cyfry $0$ , jest .

Na pierwszym miejscu liczby czterocyfrowej, w której nie ma cyfry $7$ , można ustawić różnych cyfr.

Liczb czterocyfrowych, w których zapisie występuje cyfra $7$ , jest .

Najczęściej zadawane pytania

Czy w liczbie wielocyfrowej zero może stać na pierwszym miejscu?

Nie. Zapis $0123$ oznacza liczbę $123$ , trzycyfrową. Dlatego w zadaniach „ile jest liczb czterocyfrowych…" na pierwszym miejscu stoi jedna z cyfr $1, \ldots, 9$ . Wyjątkiem są zadania o numerach, kodach i PIN-ach, gdzie treść mówi, że to ciąg cyfr, a nie liczba – tam zero na początku jest dozwolone, o ile treść nie mówi inaczej.

Od którego miejsca w liczbie zacząć wybór cyfr?

Od miejsca z najmniejszą liczbą możliwości lub takiego, od którego zależą pozostałe. Przy liczbie parzystej lub podzielnej przez $5$ jest to ostatnia cyfra, przy warunku „większa od $500$ " – pierwsza. Kolejność mnożenia czynników nie wpływa na wynik, ale kolejność wyboru wpływa na to, czy da się policzyć możliwości bez rozbijania na przypadki.

Kiedy rozbijać zadanie na przypadki, a kiedy liczyć dopełnienie?

Przypadki są potrzebne, gdy liczba wyborów na jednym miejscu zależy od tego, co wybrano na innym (na przykład parzysta liczba o różnych cyfrach, gdzie ostatnia cyfra $0$ zmienia liczbę możliwości dla pierwszej). Dopełnienie jest wygodne przy sformułowaniach „co najmniej jedna" albo „nie wszystkie": policzenie przeciwnego warunku to jedno mnożenie, a bezpośrednie liczenie wymagałoby wielu przypadków.

Jak policzyć liczby, w których dana cyfra występuje dokładnie raz?

Wybierz miejsce dla tej cyfry, a pozostałe miejsca wypełnij cyframi innymi niż ta. Jeżeli zero może znaleźć się na pierwszym miejscu w pozostałej części, położenie cyfry zmienia liczbę możliwości dla pierwszego miejsca – licz położenia osobno. Dla liczb trzycyfrowych z dokładnie jedną piątką wychodzi $9 \cdot 9 + 8 \cdot 9 + 8 \cdot 9 = 225$ .

Czy muszę znać silnię i symbol Newtona, żeby rozwiązywać takie zadania?

Na poziomie podstawowym nie: wystarczy reguła mnożenia i dodawania zastosowana do kolejnych miejsc w zapisie liczby. Symbol $\binom{n}{k}$ przydaje się na rozszerzeniu, gdy trzeba wybrać $k$ miejsc dla powtarzającej się cyfry i nie chcesz wypisywać wszystkich położeń. Jest na karcie wzorów, ale zadanie da się rozwiązać bez niego, rozpisując przypadki.

Czym różni się „cyfry się nie powtarzają" od „tylko cyfry z zestawu"?

W pierwszym przypadku liczba wyborów maleje z każdym miejscem: $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$ dla liczb czterocyfrowych. W drugim cyfry mogą się powtarzać, więc na każdym miejscu liczba wyborów jest ta sama (z wyjątkiem pierwszej cyfry, gdy w zestawie jest zero). Warunki można łączyć: „różne cyfry z zestawu $\{1, 2, 3, 4\}$ " daje $4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ dla liczb czterocyfrowych.

Co oznacza słowo „dokładnie" w treści zadania?

„Dokładnie jedna cyfra $0$ " znaczy: zero występuje raz, a na pozostałych miejscach stoją inne cyfry. Zadanie nie dopuszcza dwóch ani trzech zer. Dla liczb trzycyfrowych nieparzystych zero może stać tylko w środku (nie na początku, nie na końcu, bo ostatnia cyfra jest nieparzysta), co daje $9 \cdot 1 \cdot 5 = 45$ liczb.

Jak sprawdzić wynik, gdy nie ma odpowiedzi na końcu?

Zrób to samo zadanie dla liczb mniejszej długości, na przykład dwucyfrowych, i wypisz wszystkie liczby. Jeśli schemat daje tam poprawną liczbę, jest duża szansa, że działa też dla czterocyfrowych. To pomaga wyłapać błąd w liczbie wyborów dla pierwszej cyfry.

Komentarz Autora

Wszystkie zadania poniżej to zadania zamknięte na poziomie podstawowym za 1 punkt (o ile nie napisano inaczej) i wszystkie liczy się regułą mnożenia z warunkiem na cyfry. Reguły mnożenia nie ma na karcie „Wybrane wzory matematyczne" – symbol Newtona i silnia są na karcie w rozdziale 4, ale na poziomie podstawowym schemat „miejsce po miejscu" wystarcza.

Ten typ wraca w kolejnych sesjach. W czerwcu 2026 (poziom podstawowy, zadanie 28) pytano o liczby czterocyfrowe parzyste, w których cyfry tysięcy i jedności są równe – odpowiedź $400$ (A): cyfra tysięcy równa ostatniej, więc parzysta i niezerowa, cztery możliwości, a środkowe cyfry $10 \cdot 10$ . W maju 2026 (zadanie 29) liczby trzycyfrowe nieparzyste, w których występują tylko cyfry $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ : $6 \cdot 7 \cdot 3 = 126$ (w wersji A odpowiedź A, w wersji B – D; w sprawozdaniu CKE poziom wykonania tego zadania to 79%). W maju 2025 (zadanie 27) liczby trzycyfrowe nieparzyste z dokładnie jednym zerem: $45$ (wersja A: A, wersja B: D; wykonanie 71%). Zero może stać tylko w środku, więc $9 \cdot 5 = 45$ . W sierpniu 2025 (zadanie 28) liczby trzycyfrowe większe od $500$ z samymi cyframi nieparzystymi: $75$ (C), czyli $3 \cdot 5 \cdot 5$ , bo pierwsza cyfra to $5$ , $7$ albo $9$ .

W czerwcu 2024 (zadanie 29) czterocyfrowe parzyste z cyframi $2, 4, 7$ : $54$ (C), czyli $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2$ . W grudniu 2024 (arkusz próbny, zadanie 27) pięciocyfrowe nieparzyste z cyframi $0, 1, 2, 3$ : $384$ (B), czyli $3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2$ . W maju 2023 (zadanie 28) pięciocyfrowe z cyframi $0, 5, 7$ : $2 \cdot 3^4 = 162$ (wersja A: C, wersja B: A; wykonanie 81%). W sierpniu 2023 (zadanie 30) czterocyfrowe o niepowtarzających się cyfrach: $9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536$ (D). W arkuszu przykładowym z 2023 (zadanie 3) liczby trzycyfrowe bez cyfry $2$ : $648$ (C).

Zadanie otwarte z grudnia 2023 (arkusz próbny, poziom podstawowy, zadanie 27, za 2 punkty) łączy zliczanie z ciągiem arytmetycznym: sześciocyfrowe numery CAN o różnych cyfrach, których trzy pierwsze cyfry są kolejnymi wyrazami ciągu o różnicy $-3$ . Są cztery takie trójki: $(9, 6, 3)$ , $(8, 5, 2)$ , $(7, 4, 1)$ , $(6, 3, 0)$ , a pozostałe trzy cyfry wybiera się na $7 \cdot 6 \cdot 5$ sposobów – razem $840$ . Samo zapisanie $840$ bez obliczeń dawało 1 punkt z 2. Zasady oceniania dają też punkt za samo wypisanie czterech ciągów albo za zapisanie $7 \cdot 6 \cdot 5$ . Ciągi arytmetyczne omawia hasło ciąg arytmetyczny.

Ze zbioru zadań CKE: zadanie 56 pyta o liczby trzycyfrowe, w których cyfra $5$ występuje dokładnie raz – odpowiedź B ( $225$ ), czyli $81 + 72 + 72$ . W informatorze zadanie 64 (za 4 punkty) łączy liczenie z prawdopodobieństwem: z liczb czterocyfrowych losujemy jedną, parzystą, z dokładnie jedną cyfrą $2$ i dokładnie jedną cyfrą $3$ . Liczba zdarzeń sprzyjających to $360$ (podział na przypadki: $176 + 184$ ), wszystkich liczb jest $9000$ , więc prawdopodobieństwo wynosi $\frac{1}{25}$ . Same prawdopodobieństwo omawia hasło prawdopodobieństwo klasyczne.

Na poziomie rozszerzonym w czerwcu 2025 (zadanie 3, za 3 punkty) trzeba było policzyć liczby sześciocyfrowe, w których iloczyn cyfr jest parzysty i mniejszy od $5$ – wynik $368\,586$ . Wartości iloczynu $0$ , $2$ i $4$ rozpatruje się osobno: iloczyn $0$ to dopełnienie ( $9 \cdot 10^5 - 9^6 = 368\,559$ liczb z co najmniej jednym zerem), iloczyn $4$ to dwie dwójki i cztery jedynki albo jedna czwórka i pięć jedynek ( $\binom{6}{2} + 6 = 21$ ), iloczyn $2$ to jedna dwójka i pięć jedynek ( $6$ ). Klucz przyznawał po punkcie za poprawnie wyznaczone grupy przypadków. Starsze zadanie rozszerzone (czerwiec 2016, zadanie 15, wcześniejsza formuła egzaminu): pięciocyfrowe liczby z dokładnie trzema cyframi nieparzystymi – $28\,750$ ; wygodnie jest policzyć $\binom{5}{3} \cdot 5^5 = 31\,250$ ciągów (z zerem na początku) i odjąć te z zerem na początku: $4 \cdot 5^4 = 2500$ .

Rada (moja, nie z klucza): zanim zaczniesz mnożyć, napisz pod zadaniem „pierwsza cyfra: ..., ostatnia: ..." i zaznacz każde miejsce, na którym liczba możliwości zależy od innego. To pokazuje, czy zadanie wymaga rozbicia na przypadki. Wynik małego przypadku (liczby dwucyfrowe) sprawdź wypisaniem.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Reguła mnożenia i reguła dodawaniaKombinatoryka Zliczanie – wypisywanie możliwości i drzewoKombinatoryka KombinacjeKombinatoryka PermutacjeKombinatoryka Symbol Newtona i trójkąt PascalaKombinatoryka Wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeńKombinatoryka