Binarny ↔ ósemkowy ↔ szesnastkowy: zamiana grupami bitów

Między systemem binarnym a szesnastkowym istnieje skrót, którego nie ma między binarnym a dziesiętnym. Ponieważ 16 to 2 do potęgi 4, każda cyfra szesnastkowa odpowiada dokładnie czterem bitom. Konwersja sprowadza się więc do grupowania.

Idziemy od prawej strony, tniemy ciąg bitów na czwórki i każdą zamieniamy osobno na jedną cyfrę; w drugą stronę każdą cyfrę rozpisujemy z powrotem na cztery bity. Z ósemkowym jest identycznie, tylko grupy mają po trzy bity, bo 8 to 2 do potęgi 3.

Cztery zasady na każde zadanie z tego tematu:

• Skrót działa wtedy i tylko wtedy, gdy jedna podstawa jest potęgą drugiej. Wykładnik mówi, ile cyfr mniejszej podstawy składa się na jedną cyfrę większej: 16 = 2⁴ to cztery bity, 8 = 2³ to trzy bity, 16 = 4² to dwie cyfry czwórkowe.
• Grupujemy zawsze od prawej. Prawy koniec zapisu to pozycja jedności i tylko tam grupy stoją na swoim miejscu; podział od lewej daje inną liczbę, a nie inny zapis tej samej.
• Brakujące cyfry dopisujemy z lewej strony. Zero z przodu jest kosmetyczne, zero z tyłu mnoży liczbę przez podstawę.
• Każda grupa zamienia się osobno. Nie ma przeniesień ani dzielenia – dlatego ta zamiana jest szybka.

Zamianę z systemu dziesiętnego i na dziesiętny – gdzie grupowanie nie działa – opisuje hasło zamiana liczb między systemami.

Zamieniamy 110101110 na szesnastkowy. Cięcie od prawej daje 1 1010 1110, więc niepełną grupę uzupełniamy zerami z lewej: 0001 1010 1110. Czwórki czytamy osobno – 1, A, E – czyli 1AE. Ta sama liczba po trzy bity to 110 101 110, czyli 656 ósemkowo. Kontrola: 1AE to 256 + 160 + 14, a 656 to 384 + 40 + 6 – oba razy 430.

W drugą stronę – szesnastkowy na dwójkowy. Rozpisujemy cyfra po cyfrze, zawsze na pełne cztery bity: C8 to 1100 i 1000, czyli 11001000. Zera wiodące wewnątrz zapisu są konieczne – 3A5 to 0011 1010 0101, a nie 11 1010 101. Dopiero na samym początku liczby wolno je pominąć, więc 3A5₁₆ to 1110100101 (dziesiętnie 933).

Dlaczego dwie cyfry szesnastkowe to jeden bajt. Bajt ma osiem bitów, a osiem to dwa razy cztery – stąd każdy bajt zapisuje się dokładnie dwiema cyframi, od 00 do FF, czyli od 0 do 255. To najczęstszy powód, dla którego używa się szesnastkowego: para znaków zamiast ośmiu zer i jedynek. Czym jest bajt, wyjaśnia hasło jednostki informacji.

Uogólnienie: to nie jest sztuczka dla dwójki. Grupowanie działa dla każdej pary podstaw, w której jedna jest potęgą drugiej, a wykładnik podaje rozmiar grupy. Ponieważ 4 = 2², dwa bity dają jedną cyfrę czwórkową (11 01 10 to 312₄); ponieważ 16 = 4², dwie cyfry czwórkowe od prawej dają jedną cyfrę szesnastkową. Tak samo działa para podstaw 3 i 9.

Stąd praktyczna użyteczność szesnastkowego: kolory, gdzie składowa to jeden bajt, czyli dwa znaki – kolor i rozmiar obrazu; numery znaków – kodowanie znaków; adresy pamięci i maski bitowe.

Cięcie od lewej zamiast od prawej. Zapis 110101110 podzielony od lewej daje 1101, 0111 i osamotnione 0, więc uczeń dopisuje zera z prawej i odczytuje D70. To 3440, a poprawny wynik to 430 – liczba urosła osiem razy, bo z prawej doszły trzy zera. Grupy mają sens tylko wtedy, gdy najmłodsza kończy się na pozycji jedności: pierwsze cięcie robimy przy prawym końcu, niepełna grupa zostaje z lewej.

Zera wiodące pominięte wewnątrz zapisu. Przy rozwijaniu szesnastkowego na bity każda cyfra musi dać pełne cztery bity: 3A5 to 0011 1010 0101, a nie 11 1010 101. Zjedzenie dwóch zer przy cyfrze 3 zmienia liczbę nie do poznania. Skrócić wolno dopiero na początku gotowego zapisu.

Litera potraktowana jak mnożenie albo jak dwie cyfry. C8 to nie „C razy 8" i nie „12 i 8 obok siebie" – C jest tu zwykłą cyfrą o wartości 12, a rozwinięcie daje 1100 1000, czyli 200. Odwrotna wersja błędu jest równie kosztowna: uczeń zapisuje grupę 1100 jako 12 zamiast jako C i zapis robi się o cyfrę dłuższy.

Pomylony rozmiar grupy. Trójki użyte tam, gdzie miały być czwórki, dają zapis wyglądający poprawnie, więc błąd przechodzi niezauważony. Kontrola: cyfra większa od 7 wyklucza zapis ósemkowy. Zapamiętaj wykładnik, nie rozmiar: 8 = 2³ i 16 = 2⁴.

Grupowanie stosowane do podstawy, która nie jest potęgą. Dziesiątka nie jest potęgą dwójki, więc cięcie zapisu na kawałki daje bzdurę. Nie da się też jednym cięciem przejść z ósemkowego na szesnastkowy – 16 nie jest potęgą 8, trzeba najpierw rozpisać cyfry na trójki bitów.

• Jedna cyfra szesnastkowa = dokładnie cztery bity; jedna cyfra ósemkowa = dokładnie trzy bity.
• Grupujemy zawsze od prawej strony, a brakujące bity dopisujemy zerami z lewej.
• Nie trzeba przechodzić przez system dziesiętny – to strata czasu i źródło błędów.
• Dwie cyfry szesnastkowe to jeden bajt, stąd zapis kolorów w postaci sześciu znaków.
• Ósemkowy ↔ szesnastkowy: przez binarny (rozpisz na bity, pogrupuj inaczej).
• Skrót działa dla każdej pary podstaw, w której jedna jest potęgą drugiej, a wykładnik podaje rozmiar grupy: 16 i 4 to pary cyfr.
• Przy rozwijaniu na bity każda cyfra dostaje pełną grupę, z zerami wiodącymi.

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem: