Wszystkie zagadnienia: Prawdopodobieństwo i statystyka

podstawowy matura podstawowa z matematykimatura rozszerzona z matematykiśrednia ważonawagistatystyka

Średnia ważona

Q: Czy waga musi być liczbą całkowitą?

Nie. Wagi mogą być ułamkami, na przykład 0,3 i 0,7, byleby były dodatnie. Wynik zależy tylko od stosunku wag: wagi 2 i 4 dają dokładnie ten sam wynik co 1 i 2. Kiedy wagi sumują się do 1, mianownik jest równy 1 i można go pominąć. Takie wagi przypominają prawdopodobieństwa z hasła prawdopodobieństwo klasyczne: też są dodatnie i sumują się do 1.

Opis

Średnia ważona to średnia, w której nie wszystkie liczby liczą się tak samo. Każdej liczbie przypisujemy wagę – dodatnią liczbę, która mówi, ile „znaczy" ta liczba w wyniku. Liczbę z większą wagą traktujemy tak, jakbyśmy wzięli ją do średniej więcej razy. Tak liczy się średnią ocen, gdy sprawdzian ma wagę $3$ , a kartkówka wagę $1$ .

Zasada działania jest zawsze ta sama: mnożymy każdą liczbę przez jej wagę, dodajemy iloczyny i dzielimy przez sumę wag. Zwykła średnia arytmetyczna to przypadek szczególny, w którym wszystkie wagi są równe.

Na maturze średnia ważona pojawia się w trzech przebraniach i warto je rozpoznawać:

oceny z podanymi wagami – wagi są wprost w treści, na przykład „kartkówka waga 2, projekt waga 3",
dane z tabeli lub diagramu – wagą jest liczność, czyli informacja, ile razy dana wartość wystąpiła (odczytanie samych słupków omawia hasło odczytywanie danych z diagramów),
łączenie średnich dwóch grup – wagą każdej średniej jest liczba osób w grupie, choć treść zwykle nie nazywa tego wagą.

Wynik średniej ważonej zawsze leży między najmniejszą a największą z liczb, które uśredniamy. To najprostszy test poprawności: jeżeli z ocen od $2$ do $5$ wychodzi $5{,}4$ , gdzieś jest błąd. Mediana i dominanta to inne miary środka – opisuje je hasło średnia, mediana, dominanta.

Wzory

Średnia ważona karta CKE

\bar{s} = \frac{w_1 \cdot a_1 + w_2 \cdot a_2 + \ldots + w_n \cdot a_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}

Liczby

a_1, \ldots, a_n

mają dodatnie wagi

w_1, \ldots, w_n

. Iloczyny dodajemy, a dzielimy przez sumę wag.

Średnia arytmetyczna karta CKE

\bar{a} = \frac{a_1 + a_2 + \ldots + a_n}{n}

Przypadek, w którym wszystkie wagi są równe.

Średnia z liczności

\bar{x} = \frac{x_1 n_1 + x_2 n_2 + \ldots + x_k n_k}{n_1 + n_2 + \ldots + n_k}

Wartość

x_i

wystąpiła

n_i

razy. To wzór na średnią ważoną, w którym wagami są liczności.

Średnia dwóch grup

\bar{x} = \frac{n_A \cdot \bar{x}_A + n_B \cdot \bar{x}_B}{n_A + n_B}

Grupy mają

n_A

n_B

elementów oraz średnie

\bar{x}_A

\bar{x}_B

. Wzór wynika z tego, że suma w grupie to liczebność razy średnia.

Brakująca wartość

x = \frac{s \cdot (W + w) - S}{w}

Szukamy liczby z wagą

w

, żeby średnia wyniosła

s

. Dotychczasowe iloczyny dają sumę

S

, a dotychczasowe wagi sumę

W

Tabela

Średnia z liczności – liczba rozwiązanych zadań w grupie 20 uczniów

Liczba zadań $x_i$	Liczba uczniów $n_i$	Iloczyn $x_i \cdot n_i$
0	2	0
1	3	3
2	6	12
3	5	15
4	4	16
razem	20	46

Przykład

Przykład 1 – średnia z tabeli liczności. Dla tabeli wyżej: suma iloczynów to $46$ , suma liczności $20$ , więc średnia wynosi $\frac{46}{20} = 2{,}3$ zadania. Zwykła średnia z kolumny „liczba zadań" dałaby $\frac{0+1+2+3+4}{5} = 2$ – to inna liczba, bo nie uwzględnia, że dwójkę rozwiązało sześciu uczniów, a zero tylko dwóch.

Przykład 2 – oceny z wagami. Ocena z pierwszego sprawdzianu to $5$ (waga $3$ ), z drugiego $4$ (waga $3$ ), z kartkówki $3$ (waga $2$ ), z zadania domowego $2$ (waga $1$ ). Oblicz średnią ważoną.

Mnożymy oceny przez wagi i dzielimy przez sumę wag, czyli $3 + 3 + 2 + 1 = 9$ :

\bar{s} = \frac{5 \cdot 3 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{9} = \frac{35}{9} \approx 3{,}89

Zwykła średnia tych czterech ocen to $\frac{14}{4} = 3{,}5$ . Ważona jest wyższa, bo najwyższe oceny mają największe wagi.

Przykład 3 – brakująca ocena. Ola ma oceny: $4$ (waga $2$ ), $3$ (waga $1$ ) i $5$ (waga $2$ ). Jaką ocenę z projektu (waga $3$ ) musi dostać, żeby średnia ważona wyniosła $4{,}5$ ?

Dotychczasowe iloczyny dają $4 \cdot 2 + 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = 21$ , a wagi $2 + 1 + 2 = 5$ . Szukana ocena to $x$ , więc po dodaniu projektu suma wag wynosi $5 + 3 = 8$ :

\frac{21 + 3x}{8} = 4{,}5 \quad\Rightarrow\quad 21 + 3x = 36 \quad\Rightarrow\quad x = 5

Sprawdzenie: $\frac{21 + 15}{8} = 4{,}5$ . Gdyby Ola chciała średnią $5$ , wyszłoby $x = \frac{19}{3} \approx 6{,}33$ – ocena spoza skali, więc taka średnia jest nieosiągalna.

Przykład 4 – łączenie średnich dwóch grup. W klasie A jest $20$ uczniów, a ich średni wynik testu to $3{,}5$ punktu. W klasie B jest $30$ uczniów, średnia $4$ punkty. Jaka jest średnia wszystkich $50$ uczniów?

Suma punktów w klasie to liczebność razy średnia, więc klasy dają $20 \cdot 3{,}5 = 70$ i $30 \cdot 4 = 120$ punktów:

\bar{x} = \frac{20 \cdot 3{,}5 + 30 \cdot 4}{20 + 30} = \frac{190}{50} = 3{,}8

Zwykła średnia dwóch średnich dałaby $3{,}75$ , czyli za mało – klasa B ma więcej uczniów, więc „ciągnie" wynik mocniej w swoją stronę.

Porównanie

Miara	Po angielsku	Co uwzględnia	Wzór lub sposób
Średnia arytmetyczna	arithmetic mean	wszystkie wartości po równo	suma dzielona przez liczbę wartości
Średnia ważona	weighted mean (average)	wartości i ich wagi	suma iloczynów dzielona przez sumę wag
Mediana	median	tylko kolejność wartości	środkowa wartość uporządkowanych danych
Dominanta	mode	tylko częstość wartości	wartość występująca najczęściej

Liczności z tabeli to wagi, więc średnia z tabeli jest średnią ważoną. Dominanta i mediana z tej samej tabeli to inne pytania – szukanie ich opisuje hasło średnia, mediana, dominanta.

Typowe błędy

Średnia z samych wartości, bez wag. W tabeli „liczba punktów – liczba uczniów" uczeń dodaje punkty $0, 1, 2, 3, 4, 5$ i dzieli przez $6$ . Wychodzi $2{,}5$ , a poprawny wynik w zadaniu z sierpnia 2024 to $3{,}25$ . Wartości z kolumny liczności nie są kolejnymi danymi, tylko wagami.

Dzielenie przez liczbę kategorii zamiast przez sumę wag. Dla ocen $4$ , $5$ i wag $1$ i $3$ uczeń liczy $\frac{4 \cdot 1 + 5 \cdot 3}{2} = 9{,}5$ . Wynik jest większy od największej oceny, więc to sygnał ostrzegawczy. Dzielimy przez $1 + 3 = 4$ i dostajemy $4{,}75$ .

Średnia ze średnich. Gdy w jednej grupie jest $3$ razy więcej osób, średnia wiekowa $9$ i $13$ lat nie daje $11$ . Poprawnie: $\frac{3 \cdot 9 + 1 \cdot 13}{3 + 1} = 10$ . Wynik leży bliżej średniej grupy liczniejszej – jeśli tak nie jest, wagi zostały pominięte.

Pomylone wagi przy ocenach w kategoriach. Gdy waga jest przypisana do rodzaju oceny (kartkówka $2$ , projekt $3$ ), a ocen w kategorii jest kilka, każda ocena dostaje wagę swojej kategorii. W mianowniku sumujemy wagi wszystkich ocen, a nie wagi kategorii. W zadaniu z marca 2026 mianownik to $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 = 20$ , nie $2 + 3 + 4 = 9$ .

Za duża liczba w mianowniku przy diagramie. Przy słupkach o wysokościach $2, 9, 5, 3, 5, 1$ uczeń dzieli sumę iloczynów przez $6$ (liczba słupków). Dzielić trzeba przez sumę wysokości, czyli $25$ uczniów. Wynik $13$ przy skali ocen $1$ – $6$ jest niemożliwy, a poprawne $\frac{78}{25} = 3{,}12$ .

Brakująca ocena spoza skali przyjęta bez namysłu. Równanie dla brakującej oceny może dać liczbę większą od $6$ albo mniejszą od $1$ . To nie jest wynik, tylko informacja, że żądana średnia jest nieosiągalna. Warto zawsze porównać wynik ze skalą.

Wcześniejsze zaokrąglanie. Zaokrąglenie średniej cząstkowej do jednego miejsca po przecinku przed ostatnim działaniem psuje końcówkę wyniku, na przykład $3{,}95$ zamienia na $4$ . Zaokrąglamy dopiero na końcu i tylko wtedy, gdy polecenie o to prosi.

Sprawdź się

Uzupełnij tabelę i oblicz średnią.

Wartość $x_i$	Liczność $n_i$	Iloczyn $x_i \cdot n_i$
1	4
2	3
5	3

Suma liczności wynosi , a średnia z tej tabeli to .

Ocena $4$ ma wagę $1$ , a ocena $5$ wagę $3$ . Średnia ważona tych ocen wynosi .

W grupie 10 osób średnia wynosi $6$ , a w grupie 30 osób średnia wynosi $2$ . Średnia wszystkich 40 osób to .

Ocena z kartkówki to $2$ (waga $1$ ). Jaką ocenę z egzaminu o wadze $3$ trzeba dostać, żeby średnia ważona wyniosła $5$ ? Potrzebna ocena to .

Gdy wszystkie wagi są równe, średnia ważona jest równa średniej .

Najczęściej zadawane pytania

Czym różni się średnia ważona od arytmetycznej?

W średniej arytmetycznej każda liczba liczy się tak samo, a dzielimy przez liczbę wartości. W średniej ważonej każda liczba ma swoją wagę: mnożymy ją przez wagę, dodajemy iloczyny i dzielimy przez sumę wag. Gdy wszystkie wagi są równe, oba wyniki są takie same.

Czy waga musi być liczbą całkowitą?

Nie. Wagi mogą być ułamkami, na przykład $0{,}3$ i $0{,}7$ , byleby były dodatnie. Wynik zależy tylko od stosunku wag: wagi $2$ i $4$ dają dokładnie ten sam wynik co $1$ i $2$ . Kiedy wagi sumują się do $1$ , mianownik jest równy $1$ i można go pominąć. Takie wagi przypominają prawdopodobieństwa z hasła prawdopodobieństwo klasyczne: też są dodatnie i sumują się do $1$ .

Jak policzyć średnią z tabeli lub diagramu słupkowego?

Wartość pomnóż przez liczbę jej wystąpień, wszystkie iloczyny dodaj i podziel przez sumę liczności, czyli przez liczbę wszystkich danych. Dla wartości $0, 1, 2$ powtórzonych odpowiednio $1, 2, 3$ razy średnia to $\frac{0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3}{6} = \frac{4}{3}$ .

Dlaczego średnia ze średnich dwóch grup bywa błędna?

Bo grupy mogą mieć różne liczebności. Prosta średnia ze średnich jest poprawna tylko wtedy, gdy grupy są równoliczne. W innych przypadkach liczebności grup są wagami. Przy grupach $20$ i $30$ osób ze średnimi $3{,}5$ i $4$ wynik to $3{,}8$ , a nie $3{,}75$ .

Jak obliczyć brakującą ocenę lub brakującą wagę?

Zapisz równanie: suma iloczynów podzielona przez sumę wag ma być równa żądanej średniej. Niewiadomą jest ocena albo waga, a równanie rozwiązujesz jak zwykłe równanie liniowe z ułamkiem. Przy szukanej wadze równanie też jest liniowe, bo waga występuje i w liczniku, i w mianowniku – po wymnożeniu przez mianownik wyrazy z niewiadomą przenosisz na jedną stronę.

Czy na maturze trzeba znać wzór na średnią ważoną na pamięć?

Nie. Wzór jest na karcie „Wybrane wzory matematyczne", ale zadania zwykle da się rozwiązać bez niego, rozumując „suma jest równa liczebności razy średnia". Warto jednak umieć oba sposoby, bo drugi bywa szybszy przy łączeniu grup.

Czy w podstawie programowej jest odchylenie standardowe?

Nie. W podstawie programowej obowiązującej od egzaminów 2026/2027 odchylenia standardowego nie ma, więc w tym haśle go nie omawiamy.

Komentarz Autora

Wzór na średnią ważoną jest na karcie „Wybrane wzory matematyczne" (rozdział 15, „Parametry danych statystycznych"), razem ze wzorem na średnią arytmetyczną. W arkuszach zebranych na portalu pięć zadań zamkniętych sprowadza się do tej średniej, choć tylko jedno z nich używa słów „średnia ważona" – pozostałe pytają po prostu o średnią arytmetyczną, ale w danych są liczności albo grupy.

Oto te zadania. W czerwcu 2026 (poziom podstawowy, zadanie 29) w jednej szkole jest $3$ razy więcej uczniów niż w drugiej, średnie wieku to $9$ i $13$ lat – wynik $10$ (odpowiedź A). W maju 2026 (zadanie 32) średnia liczb $a, b, c$ to $2$ , a liczb $d, e, f, g$ to $5{,}5$ ; średnia siedmiu liczb wynosi $4$ (litera zależy od wersji arkusza; poziom wykonania według sprawozdania CKE – 74%). W marcu 2026 (próbna matura, zadanie 30) trzeba było policzyć ważoną średnią ocen z tabeli, gdzie kartkówki miały wagę $2$ , projekty $3$ , aktywność $4$ : wynik $3{,}95$ (odpowiedź C). W czerwcu 2024 (zadanie 28) z diagramu słupkowego ocen $25$ uczniów wynik to $3{,}12$ (odpowiedź B). W sierpniu 2024 (zadanie 28) z tabeli punktów $32$ uczniów wychodzi $3{,}25$ (odpowiedź B).

W Informatorze CKE o egzaminie maturalnym z matematyki na poziomie podstawowym jest też zadanie z firmą i diagramem zarobków za $2$ punkty: pierwszy punkt przysługuje już za obliczenie sumy zarobków wszystkich pracowników ( $336$ tys. zł), drugi za średnią $4{,}48$ tys. zł.

Moja rada: zanim zaczniesz liczyć, zapisz sobie, co jest wagą. Przy diagramie i tabeli to liczności, przy dwóch grupach – liczby osób, przy ocenach – podane wagi. Potem sprawdź wynik oceną „na oko": musi leżeć między najmniejszą a największą wartością, a bliżej tej, która ma większą wagę.

Szymon

Autor materiałów na Prymo. Hasła z matematyki opieramy na wymaganiach CKE, informatorach i zadaniach z arkuszy maturalnych – tak, żeby uczyć dokładnie tego, co jest na egzaminie.

↗

Powiązane zagadnienia

Zagadnienia z tego samego obszaru matury – warto je powtórzyć razem:

Odczytywanie danych z diagramów i tabelStatystyka Średnia arytmetyczna, mediana i dominantaStatystyka Ile jest liczb spełniających warunki – liczby wielocyfroweKombinatoryka